1. จำนวนจริงคืออะไร?
จำนวนจริง (ℝ) ประกอบด้วย:
- จำนวนตรรกยะ: เขียนในรูปเศษส่วน a/b ได้ (b≠0) เช่น 1/2, −3, 0.75, 0.333…
- จำนวนอตรรกยะ: เขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้ เช่น √2, √3, π, 0.1010010001…
2. รากที่สองและรากที่สาม
√a คือ จำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งกำลังสองเท่ากับ a (a ≥ 0)
ตัวอย่างที่ 1
√9 = 3 เพราะ 3² = 9
√16 = 4, √25 = 5, √0 = 0
√2 ≈ 1.414 (เป็นอตรรกยะ)
ตัวอย่างที่ 2: รากที่สาม
∛8 = 2 เพราะ 2³ = 8
∛27 = 3, ∛(−8) = −2 (รากที่สามมีค่าลบได้)
3. สมบัติของรากที่สอง
- √(a×b) = √a × √b (a,b ≥ 0)
- √(a/b) = √a / √b (b > 0)
- (√a)² = a และ √(a²) = |a|
ตัวอย่างที่ 3: ทำให้เป็นรูปอย่างง่าย
√12 = √(4×3) = 2√3
√50 = √(25×2) = 5√2
√18 = 3√2
ตัวอย่างที่ 4
√8 × √2 = √16 = 4
√27 / √3 = √9 = 3
ตัวอย่างที่ 5: การบวกราก
2√3 + 5√3 = 7√3
4√2 − √2 = 3√2
หมายเหตุ: √2 + √3 ไม่สามารถรวมได้โดยตรง
ตัวอย่างที่ 6
√75 − √12 = 5√3 − 2√3 = 3√3
ตัวอย่างที่ 7: โจทย์
ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสพื้นที่ 50 ตารางหน่วย คือ √50 = 5√2 หน่วย
สรุป
- จำนวนจริง = ตรรกยะ + อตรรกยะ
- √a มีค่าเมื่อ a ≥ 0 และผลลัพธ์ไม่เป็นลบ
- แยกรากโดยใช้ตัวประกอบที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์